笔记 01/29/2026 08:41:11

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M

10个点两两取中点，求中点个数最小值。

先猜测是在直线上（发现是17个，想不出更小的情况），开始证明：

1.直线上最少的确是17个：

构造，x1<x2<……<x10，发现（放缩）x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<.....<x7+x8<x7+x9<x8+x9<x8+x10<x9+x10（每个除的二约掉了）（这十七个都不相等，即不重合），所以至少有17个（那怎么证17个存在？可不可以用等距离举例证？）（可以的，证明存在性举例是很方便的方法）

2.平面里的大于等于直线上的：

比较空间和平面/平面和直线这种“降维”的需求可以用投影，发现只要不是平面上两个点投到了直线上的同一位置就可以证。（能做到相等吗？好像是可以的，比如4个点时的正方形和共线。）（那10个点呢？）

那么怎么证明对于所有打点情况，都能找到至少一条恰当的用于投影的直线能够使得10个点在该直线上的投影都不重合呢？

再次几何化为代数：

记这10个点两两组成的线段斜率分别为k1,k2,...,k45（10C2是45，9+8+...+1（从1到9对x求和））

要使得以上线段均不垂直于该直线，只需找出一个k使得k≠-1/k1,-1/k2,-1/k3....,-1/k45作为该直线的斜率即可。

*使用大学数学分析的思路：（因为k可以从负无穷取到正无穷故可以随便加1什么的）e.g.k=max{-1/ki}+1

实现了！

故证明完毕，10个点两两取中点、中点个数最小值为17。

（放到空间里分析思路应该也是一样的吧？甚至还可以套个空间的皮让它看起来更难一点hhh，不过平面→直线的投影如果想出来了那么空间→平面大抵也不是问题。）

有有限条直线，一定存在一种建系方法使得这些直线斜率均存在吗？如何证明？

 

注意向量和、积区别（i+j=根号2d，然而i·j=0）

因为向量求积的本质是投影，所以可以空间投到平面再求（e.g.正三棱柱里求顶点组成的向量所有可能向量积可以化到正三角形里简化步骤）（别忘了z轴方向上的会变成零向量）

 

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M

解析几何

垂直条件（如向量OA·向量OB=0）得的x1x2+y1y2=0（如有已知(x0,y0)与1、2分别有个韦达），用韦达凑（e.g.y1y2=(y0y1)(y0y2)/y0^2）有时不如直接把1、2两个点都求出来（用椭圆方程、直线解析式化简）（用x0，y0表示），m=y1/(x1-1)这种代入韦达计算量并不大，**记得分子分母同乘的化简方法。

仿射变换的（较为实用的）性质：

a.经过椭圆的标准变换（对于x^2/a^2+y^2/b^2=1，使x'=x/a，y'=y/b。**若焦点在y轴上ab要记得对换），同一坐标系里的直线Ax+By+C=0会变成Aax'+Bby'+C=0，代入可证

b.面积比不变（Sa':Sb'=Sa:Sb），且S':S=1/ab（矩形易证）

***但凡熟悉仿射变换的这两个性质期末的21(3)就能很快出答案了；不过需要证明才能有另外4分，所以：

Q.所有图形都能切割成小正方/长方/平行四边形吗？如果可以的话是不是就可以通过证矩形（或平四..，同上）的情况证三角形了？三边斜率都不定的情况感觉要直接证三角形面积比不变很困难啊

c.斜率比不变，代入可证

d.平行/共线线段/向量长度比不变

 

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M

解析几何

“尽管有向角的具体取值与直线的位置有关，但其正弦值为定值；”是什么意思？

过(-6,0)的直线系是y=k(x+6)和x=-6或x=my-6和y=0，注意后者是x=my-6，不是+6！

化简到12y1/(12x1+60)，分子分母常数还能约分，以及如有x=my-6、y=x+t这样的直线解析式可以把分子上的y1换掉；

x=my-6，把m=(x1+6)/y1代入展开的时候有时不用把-6和式子通分（？

斜率乘积为定值的几种考法：

1.椭圆C上，A、B为俩（左右、上下）（右、上可以吗？）顶点，P动，kPA·kPB=e^2-1(-b^2/a^2)；

2.椭圆C上，A、B关于原点对称，P动，kPA·kPB=e^2-1；

3.椭圆C上，A、B动，P为AB中点，kAB·kOP=e^2-1；

4.椭圆C上，P动，过P切线为l，kl·kOP=e^2-1；

5.椭圆C上，P动，AB过某定点，kPA·kPB为定值。

等效判别式里的A是x前的系数，y前的是B！（椭圆：B^2b^2+A^2a^2-C^2=0；双曲线：B^2b^2-A^2a^2+C^2=0，昨天搞错了！是x、y轴对换的时候换a、b...）

参数方程的设法:

A(acosα,bsinα)

B(acosβ,bsinα)

（同样可以用仿射变换来理解，x=acosα=ax'，y=bsinα=by'）

出现x1y2-/+x2y1要反应过来可以三角换元了（然后用定义域求最值/另外一个等式出定值，如C点用A、B出的横纵坐标代入T有cos(α-β)=-1/2可出sin(α-β)=+-根号3/2这样），三角也可以用来拆根号；

 

仿射变换求面积很快（S'/S=1/ab）、特殊情况（赋值）求定值很快；

做了一道不那么数列的数列；

抽象函数条件转化：（大概是用来限制值域的）

1.对任意a，b，c，使得f(a)、f(b)、f(c)能构成三角形的三边

不妨令f(a)<f(b)<f(c)，

则f(a)min+f(b)min>f(c)max

即2f(x)min>f(x)max

2.（没懂）

3.对任意a，存在b，使得f(a)·f(b)=1→f(x)值域为[-m,-1/m]∪[1/n,n]的形式

证：（拿[p,q]举例，p、q>0）

①若p<1/q，则pq<1，矛盾；

②若p>1/q，则pq>1，矛盾；

∴p=1/q，证毕。

4.y=f(x)存在两条相互垂直的切线

即存在a，b，使得f'(a)f'(b)=-1→f'(a)=-1/f'(b)

e.g.f'(x)∈[a,a+3]，a<0<a+3，

则a<-1/(a+3)或-1/a<a+3（画数轴即可）

 

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解析几何

做了两道2010二模的解析几何，有些地方思路不熟悉卡住导致还不够快，

MP为圆的直径，PD、MQ交点在圆上可以推出PD垂直于MQ，就有很多简单的处理方法了（斜率k1k2=-1，向量x1x2+y1y2=0，有时可勾股）（原来不知道垂直只能想到d=r和把点用直线表示出来（若要求这个点，两条直线得联立，在此之前求直线又得用其它四个点表示，其它四个点又得用圆锥曲线表示）代入圆，相比之下都繁琐了；有垂直之后直接跳过了求交点坐标的一系列过程（求直线&联立））；

图要画画清楚，如果某个点R在y轴上就不要把它画在y轴和圆锥曲线的交点附近，否则……~~///(^v^)\\\~~

做卢湾区那题就是看着图以为是直线和圆锥曲线的两个交点，导致（因RP=-3PF）做成非对称韦达了，不过倒也恰好练了一遍非对称韦达的一种做法，于是乎顺便整合一下目前学会了的处理非对称韦达的方法：

1.x1/x2=n（x1=nx2），求n的取值范围：

取倒数相加（n+1/n=x1/x2+x2/x1=(x1+x2)/x1x2），韦达代入（一般代入后会除n之外剩下一个元，记得用delta限制其取值范围），求最值，不等式/对勾函数值域；

2.x1=nx2+m：

先通过x1-t=n(x2-t）凑等比数列{xn-t}，后把公比取倒数相加（eg.(x1-1)/(x2-1)+(x2-1)/(x1-1)，通分），分子化简时记得把（x1-1）（x2-1同理）视作整体，用完全平方式处理，后续同1；

3.有和有积，一般是求定值处理最后的一大坨分式：

和积互化，一般是积化和，太简单过（；

 

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M

摘录自涂山苏苏的数列问题经验分享，相当helpful啊，打算今天多看几篇他写的文稿，把思路抄脑子里：

1.碰到陌生数列的求和问题的时候，一般只有两种处理方法，一个是裂项，一个是放缩。

2.应该主动问自己我们能干什么。我们能干的只有一个，就是思考递减怎么处理。（元问题隔离出来）怎么就递减？那当然是恒有an+1<an，这个是前后项的关系，根据控制关系，可以充要替换成（题目给的递推）<an，这是一个关于an的不等式，本着第五期的“简化即胜利”的原则，肯定要把它求解掉，解得……怎么解得an≠1？？那我就懂了，A是说，只要首项不是1或2，那么整个{an}没有一项等于1。这可比原本的要简单，直接落实到项上。

那么，事实确实如此吗？我们判断整个an咋样肯定不好判断，所以玩个逻辑游戏，考虑它的逆否命题（或者说用反证法）：如果有某一项是1，看看它首项是不是只能是1或者2。这个好办，因为某一项是1的话，可以往回摸，比如an=1，那解方程得到an-1是1或2；如果an-1=1，跟刚才一样了，如果an-1=2，那么2=an-1=（an-2相关的递推式），无解！当然，如果你倒到最开头了，取a1=2当然没问题，但只要没倒到头，那就必须选择1继续往回倒，故“头”只可能是1或者2……自然A就是对的了。

可以看到，A选项的分析过程一直是在充要替换，其实只要大家在分析时保持了严谨性，并且有明显简化的步骤（比如这里解出an≠1），那么根据第五期的做题原则，大家就坚定的往下尝试即可。

3.怎么就最小值不存在了？什么样的数列找不到最小值？想想常见的，等差等比，等差如果递减，就没有最小值；等比如果递减也没有……不管怎么说好像只要跟“减”扯上关系就容易没有哎。

4.裂项的目的就是把1/(bn)裂成两个相同结构的差。

5.这道题给我们体现出来很多曾经讲过的思维方式的应用，除了隔离，分解出元问题，充要替换维持信息量等，还有一些应对难题的思维方式。

比如，“简化即胜利”判断操作是否可行的理念，反面思考，也就是反证法（这种思考方式越是难题越要重视），以及数列特化的遍历法，也就是摸项的思维方式。

这种摸项遍历对于静态数列都有用（包括这种没法一眼望穿的），这是因为数列这一对象的特殊性（n可以滑动）。上篇里面我们讲那些静态数列分析问题时候，几乎每个题都在用，现在仍然在用，其重要性可见一斑。

 

继续摘（或许看原文会更好？）；发现他的自由度思想好像面对变形问题没什么用，这种地方讲解的时候废话比较多，还是自顾自变形吧（）选择性地吸纳，或许多做点题能融合的更好？

1.最后，实际自由度为0，则问题变为静止，所有的主自由度都是理论可求的，控制关系下的其它要素也可以顺着求出来；实际自由度为1，则问题实质是一个单变量问题，最后往往要求某个量的取值范围（或者还有大小无关，位置无关等特殊情况，参见以往相应视频）。

2.只有当我们列出的式子能够包含整个控制过程的全部信息，这个式子才能正确起到充要替换的作用，才能正确的表达一个个单位，才能够让我们得以进一步往下走，完成整个题目。因此，大家可以看到的是，元问题与牵制的分析和充要替换，是解题过程中不可或缺的一步，其重要性和要素网建立，算数求解，是相当的。我们甚至可以说，绝大多数问题的处理，其实就是动静视角总览→建立要素网→处理元问题与牵制条件→算术求解的过程，前二者在第1，4期经验分享里已经分析过，最后的求解则是算数，解方程的基本功（以及适当的即时检查）。

3.那么，剩下的中间这个，处理元问题与牵制，它的实质是什么呢？从刚才的分析中，大家想必也看到了，元问题和牵制的处理，很大程度上就是基础知识的使用！！！因此，大家也可以看到了，我们讲过的思维完美覆盖的范围是简单题，中档题和部分难题所占据的130分，这些题的求解在本质上是一致的，都是这样的，几步走的过程，动静视角与要素网的思维范式起到高屋建瓴，指引方向的作用。剩下的基础知识应用和计算求解全部是依托于这些思维，受灵感，偶然想到之流影响很小，几乎都是在要素网的基础上，自然而然孕育出的。

4.**对比试错是本人高三阶段用于提高语文和理综的手段，成效显著（可以参见部分杂谈）

 

在宁波十校联考里拣了几道大题做，新经验包括但不限于：

1.线段与平面的夹角不只与端点的“高度”有关，和水平方向的位置也有关，不是最高就夹角最大…（e.g.一端点在平面上，另一端点在垂直于该平面的一个圆弧上，未必在最高点取到线面角θmax）；

2.向量乘积投影再投影真的很方便；

3.AH/AC=yA/(yA-yC)，not+；

4.务必找清楚相切的点是不是特殊点，有时并非（有时还真是）；

5.**yC^2+yB^2未必等于(yB+yC)^2-2|yByC|（yB、yC异号时，yB^2+2yByC+yC^2这里的+2yByC相当于-2|yByC|，所以后面反而应该补加（不如直接减yByC别带绝对值了））；

6.分号要兜住分子（以防把分子上的抄到外边去），检查可以用量纲分析，为此最好别把y1+y2定成①，y1y2定成②（明明不是一个量纲），对量纲检查有干扰；

7.x+1/x最低点两边未必都能取，画画图检查一下

……血泪史啊！！

 

继续做数列。

前、后项相关的循环不是出现了一样的元素就可以闭合的（吗？）；

周期性那种一项一项推过去的最好列个表写写清楚，前面把a、-b看成-a、b以为循环了。以上两个问题都是可以通过在找出“规律”之后多列几项解决的。

 

求和与不等式证明结合的问题一般都要用到递推（还是放缩？包括裂项有时候也是为了放缩），不知道哪来的莫名其妙的n的时候考虑数学归纳法（这玩意居然可以用来引入n）

 

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数列和一些抽象函数的小难题：

对称的情况下最好是先往m+n、mn的方向上凑再换元，容易出常见函数。用m表示n似乎是不明智的做法（至少在今天做的题里使得式子复杂得无法求整体极值点。或许学了导数之后可以？）

以及，说到换元，定义域一定要牵着走！

 

先前学习的三角、数列、圆锥曲线基本都是代数（变形、取等）；而导数则侧重分析（类似于计算器打到0.000开始找答案）。

1.常用导数：

下，乘；

lnx→1/x；

e^x→（e^x）/lne=(e^x)/1=e^x；

sinx→cosx；

xsinx→xcosx+sinx；（其实是f·q—（求导）→f'q+fq'）（e.g.xe^x—'→x·e^x+1·e^x=(x+1)e^x—'→(xe^x)'+e^x'=(x+1)e^x+e^x=(x+2)e^x；xlnx—'→x·1/x+1·lnx=lnx+1）

2.导数题常见的放缩/变形技巧：

用零点/…造出的等式在后续证明中做替换；

e在2.7~2.8之间，根号e在1.6~1.7之间；

sinx<=1（三角、一般都有的时候，可以用来去三角）；

看图像，有些公式性质的相切（》《）；

3.分析函数零点个数的方法：

①先看是否是有穷个：看x较大时是稳定/震荡，稳定有穷，震荡无穷；

②去掉大段（从…开始后恒大于/小于0）（不用特别精确，保证全部囊括即可），仅分析还在震荡的部分。

对于“平面内两定点A、B与椭圆上任意一点P分别连成的直线斜率k1，k2有一确定关系”可以这么理解：

过平面内定点A的直线过椭圆上一点P，有等式（k1，x0）；（l原本有两个自由度，过A点去掉一个，余k1；l与P有（k1，x0，y0）的关系式；P与C有（x0，y0）的关系式，消元变成（k1，x0））

同理，过平面内定点B的直线过椭圆上一点P，有等式（k2，x0）；

以上两个等式必然可以去掉x0，得出（k1，k2），使得k1与k2有固定约束关系；

过椭圆内一定点的直线（k1）与椭圆两交点（k1，k1）与定直线上任一点（x0）两条连线的斜率之间必有确定关系吗？（k2由k1、x0决定，k3亦由k1、x0决定）

错误！最后会剩一个关于三个变量的等式。

可以固定（x0）或k1（豁然开朗！我画点图看看。所有的k1k2题型都可以解释了，还可以出更多花样！）

啊用自由度分析题目好好玩。

 

仍然是导数之

证：2x2+x1<1，可以把2x2换元为x3。啊记得换元、代入等等操作的时候一定要把取值范围（x1>…，t∈…）像牵狗一样随时带着！

ae^x→e^x，x可为任意数/参/变；

好像放缩（通过替换“丢掉”依托东西改成更简洁/in need的，下一个符号改不等号）有一个前提是搞清楚了和它相乘的其它几个项的正负，否则大小于号定不了；

e^x》ex、x/ln(x+1)>1（x>0时）（或许还有e^x》x+1；酌情都试试）是导数放缩里非常常见的不等式；

还有xe^x》lnx+x+1（即e^x》lnx/x+1/x+1），慢慢积累吧；

te^t<e等价于t<1；

证不等式的时候要努力把各项往它的方向上凑，放缩丢旧元素引进新元素的时候也要考虑这一点；

为了凑可以放个大的（e.g.第一项是ex1*根号下x/ln(x+1)，第二项是ex3*x/ln(x+1)（原题给了x>0故有x/ln(x+1)>1，∴开根后比原来的小）不等式是x1+x3...，可以原式>第二个开根后）；

有时候对x1+x3的正负要分类讨论（？

 

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导数

跟着视频做了一些导数压轴，汇总了一下现在大概摸清楚高考导数考点什么了：

1.最值（极值点）

2.单调性

3.不等式证明（放缩、变形）

4.恒成立（任意）（最不利），有解（存在）（最有利？（真有吗））

5.求零点、零点个数

大多是各种线性函数、二次函数、对、指、幂函数的混合，画图的能力好像挺重要的，先把常见的图像熟悉一下吧。（放缩也是从图像推出来的；常见的放缩也可以一起记忆一下！）